Modern dünyanın arkasında büyük ölçüde matematiksel denklemler vardır.Bugün GPS ile yön bulabiliyor, cep telefonuyla iletişim kurabiliyor, uçak tasarlayabiliyor, finansal piyasaları modelleyebiliyor, depreme dayanıklı binalar inşa edebiliyor ve kuantum dünyasını anlayabiliyorsak, bunun temelinde çoğu zaman bir matematiksel ilişkinin keşfi vardır. Matematikçi Ian Stewart, In Pursuit of the Unknown: 17 Equations That Changed the World adlı kitabında bu düşünceden yola çıkarak insanlık tarihinde olağanüstü etkiler yaratmış 17 matematiksel yapıyı seçiyor. Kitabın temel yaklaşımı, denklemleri yalnızca matematiksel nesneler olarak değil, insanlık tarihini değiştiren araçlar olarak ele almak.

Bu 17 denklem arasında Pisagor teoreminden Newton'un kütleçekim yasasına, Maxwell denklemlerinden Einstein'ın göreliliğine ve Schrödinger denkleminden Black-Scholes modeline kadar uzanan olağanüstü bir yolculuk bulunuyor.

1. Pisagor Teoremi

a² + b²  =  c²

İlk bakışta son derece basit:

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir.

Fakat bu basit ilişki, geometri ile cebir arasında çok önemli bir köprü kurdu.

Haritacılık, mimarlık, mühendislik, navigasyon ve daha sonra bilgisayar grafikleri gibi sayısız alan bu ilişkinin üzerine inşa edildi.

GPS'in çalışma prensiplerinin arkasındaki matematiksel altyapıda da uzaklıkların geometrik olarak hesaplanması bulunur. Büyük fikir:

Uzayı matematikle ölçebiliriz.

2. Logaritmalar

Logaritmanın gücü, çarpma işlemini toplamaya dönüştürmesidir.

Örneğin:

log(ab)  =  log a + log b

Bu küçük görünen özellik, hesaplamayı dramatik biçimde kolaylaştırdı.

Özellikle hesap makinelerinin ve bilgisayarların olmadığı dönemlerde astronomlar, mühendisler ve bilim insanları için logaritma tabloları olağanüstü önemliydi.

Daha sonra logaritmalar:

ses ölçümünde, depremlerin büyüklüğünde, finansal modellerde, bilgi teorisinde, bilgisayar bilimlerinde karşımıza çıktı.

Büyük fikir:

Çok büyük ve karmaşık sayısal ilişkileri yönetilebilir hale getirmek.

3. Kalkülüs

df/dt  =  lim_h→0  [ f(t+h) − f(t) ] / h

Burada insanlık tarihinde gerçek bir kırılma yaşandı.

Değişimi matematikle ifade etmeyi öğrendik.

Türev bize bir şeyin ne kadar hızlı değiştiğini söyler.

Örneğin:

konum → hız
hız → ivme
nüfus → büyüme hızı
sıcaklık → sıcaklık değişimi
finansal değer → getiri

Kalkülüs olmadan Newton fiziği, modern mühendislik ve modern bilim düşünülemez.

Bu nedenle kalkülüs aslında yalnızca bir matematik tekniği değil:

Değişimi ölçmenin dili oldu.

4. Newton'un Kütleçekim Yasası

F  =  G · m₁m₂ / r²

Newton'un en büyük başarısı yalnızca Dünya'daki cisimlerin düşmesini açıklamak değildi.

Aynı matematiksel yasa:

elmanın düşmesini, Ay'ın Dünya çevresindeki hareketini, gezegenlerin Güneş etrafındaki hareketini aynı çerçevede açıklıyordu.

Bu olağanüstü bir fikirdi:

Gökyüzünün fiziği ile Dünya'nın fiziği aynıdır.

Bu denklem, evrenin matematiksel olarak anlaşılabileceği düşüncesinin en büyük dönüm noktalarından biridir.

5. Sanal Sayılar

i²  =  −1

İlk bakışta anlamsız görünüyordu.

Çünkü hiçbir gerçek sayının karesi -1 olamaz.

Ama:

i  =  √(−1)

tanımı matematiğe yeni bir boyut açtı.

Bugün karmaşık sayılar:

elektrik mühendisliğinde, sinyal işlemekte, kuantum mekaniğinde, elektromanyetizmada, bilgisayar grafiklerinde temel araçlardır.

Özellikle Fourier dönüşümü ve kuantum mekaniği düşünüldüğünde, i'nin modern teknolojinin çok derinlerinde olduğunu görürüz.

6. Euler'in Çokyüzlü Formülü

Bir çokyüzlü için:

V − E + F  =  2

Burada:

V = köşe sayısı
E = kenar sayısı
F = yüz sayısıdır.

Bu basit ilişki daha sonra topoloji adı verilen matematik dalının gelişiminde önemli rol oynadı.

Topoloji bize şekillerin uzunluklarından ve açılarından ziyade bağlantı yapılarını incelemeyi öğretti.

Bugün topoloji:

bilgisayar bilimlerinde, ağ analizinde, fizik, biyoloji, veri bilimi gibi alanlarda kullanılmaktadır.

7. Normal Dağılım

Gauss dağılımı

Çan eğrisi:

φ(x)  =  1 / (σ√(2π)) · exp( −(x − μ)² / 2σ² )

İstatistiğin en önemli matematiksel yapılarından biridir.

Ölçümlerdeki hatalardan insan boylarına, finansal modellere kadar pek çok yerde karşımıza çıkar.

Bunun bize öğrettiği temel fikir şudur:

Rastlantısallığın da matematiksel bir yapısı vardır.

Bu fikir modern istatistik ve veri biliminin temel taşlarından biridir.

8. Dalga Denklemi

∂²u / ∂t²  =  c² · ∂²u / ∂x²

Bir telin titreşimi, ses dalgaları veya bir binanın deprem sırasında davranışı...

Bunların arkasında dalga matematiği vardır.

Denklem bize bir dalganın uzayda ve zamanda nasıl hareket ettiğini söyler.

Bu nedenle:

akustik, deprem mühendisliği, telekomünikasyon, elektromanyetik dalgalar gibi alanların temelindedir.

9. Fourier Dönüşümü

F(ω)  =  ∫ f(t) · e^−iωt dt

Fourier dönüşümünün temel fikri inanılmaz derecede güçlüdür:

Karmaşık bir sinyali, onu oluşturan basit frekanslara ayırabiliriz.

Bir müzik parçasını düşünün.

Tek bir karmaşık dalga olarak gördüğümüz şeyi:

f(t)

farklı frekans bileşenlerine ayırabiliriz.

Bugün Fourier dönüşümü:

MP3, JPEG, görüntü işleme, radar, MRI, ses teknolojileri, telekomünikasyon gibi alanlarda kullanılıyor.

Başka bir deyişle:

Fourier dönüşümü bize karmaşık şeylerin içindeki frekansları görme yeteneği verdi.

10. Navier–Stokes Denklemleri

ρ ( ∂v/∂t + v·∇v )  =  −∇p + μ∇²v + f

Bunlar sıvı ve gazların hareketini tanımlar.

Örneğin:

hava akışını, uçak kanadının çevresindeki akışı, okyanusları, atmosferi, borulardaki sıvıları modellemek için kullanılır.

Fakat burada ilginç bir paradoks vardır.

Denklemler çok iyi bilinmesine rağmen, onların matematiksel davranışlarının tümü hâlâ çözülebilmiş değildir.

Navier–Stokes denklemlerinin belirli koşullarda düzgün çözümlere sahip olup olmadığı, Clay Mathematics Institute'un Millennium Prize Problems listesindeki ünlü problemlerden biridir.

11. Maxwell Denklemleri

∇·E = ρ/ε₀
∇·B = 0
∇×E = −∂B/∂t
∇×B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t

Burada modern teknoloji dünyasına giriyoruz.

Maxwell denklemleri elektrik ve manyetizmayı tek bir teorik çerçevede birleştirir.

Kabaca:

Elektrik+Manyetizma→Elektromanyetizma

Ve daha da önemlisi Maxwell'in denklemlerinden elektromanyetik dalgaların ışık hızında ilerlediği ortaya çıkar.

Bu, ışığın elektromanyetik bir dalga olduğunu gösterdi.

Sonuç?

Bugünkü:

radyo, televizyon, radar, Wi-Fi, cep telefonu, kablosuz iletişim dünyasının teorik temellerinden biri.

12. Termodinamiğin İkinci Yasası

En ünlü ifadesi:

ΔS  ≥  0

Kapalı bir sistemde entropi azalmaz.

Bu yasa bize zamanın yönü hakkında çok derin bir şey söyler.

Bir bardak yere düştüğünde parçalanır.

Ama parçaların kendiliğinden tekrar birleşip bardağı oluşturmasını beklemeyiz.

Mikroskobik fizik yasalarının çoğu zaman yönüne karşı simetrik görünürken, makroskobik dünyada belirgin bir zaman oku vardır.

Bunun merkezinde entropi bulunur.

13. Einstein'ın Görelilik Teorisi

Özel göreliliğin en ünlü sonucu:

E  =  mc²

Kütle ile enerjinin birbirinden tamamen farklı şeyler olmadığını gösterir.

Küçük bir kütlede bile muazzam miktarda enerji saklıdır.

Bu fikir:

nükleer fiziğin, nükleer enerjinin, parçacık fiziğinin temel taşlarından biridir.

Ama Einstein'ın devrimi bundan daha büyüktür.

Uzay ve zamanın mutlak olmadığını gösterdi.

14. Schrödinger Denklemi

Kuantum mekaniğinin temel denklemlerinden biridir:

iℏ  ∂ψ/∂t  =  Ĥψ

Buradaki ψ, kuantum sisteminin durumunu tanımlayan dalga fonksiyonudur.

Schrödinger denklemi bize atomların ve kuantum sistemlerinin nasıl evrildiğini söyler.

Transistörlerden lazerlere, MR cihazlarından modern elektronik teknolojilere kadar modern dünyanın büyük bölümü kuantum mekaniğinin sonuçlarına dayanır.

15. Bilgi Teorisi

Claude Shannon'ın bilgi teorisi, bilgiyi matematiksel olarak ölçülebilir hale getirdi.

Entropinin temel ifadelerinden biri:

H  =  −∑ p_i log p_i

Buradaki şaşırtıcı fikir şudur:

Bilgi de ölçülebilir bir fiziksel/matematiksel kavram gibi ele alınabilir.

Bu yaklaşım:

internet, veri sıkıştırma, hata düzeltme, dijital iletişim, kriptografi

gibi alanların temelini oluşturdu.

Bugünkü dijital dünyanın matematiksel altyapısında Shannon'ın fikirleri çok önemli bir yere sahiptir.

16. Kaos Teorisi

x_n+1  =  r · x_n(1 − x_n)

Kaosun temel fikrini basitçe şöyle ifade edebiliriz:

Deterministik bir sistem öngörülemez hale gelebilir.

Örneğin Lorenz'in çalışmalarında küçük başlangıç koşulu farklılıklarının zaman içerisinde çok büyük sonuçlara yol açabileceği görüldü.

Meşhur "kelebek etkisi" fikri buradan gelir.

Bu:

hava tahminleri, iklim modelleri, biyolojik sistemler, ekonomi, karmaşık sistemler için büyük önem taşır.

Burada matematik bize çok önemli bir sınır gösterir:

Bir sistemin kuralları tamamen belirli olsa bile geleceğini sonsuza kadar öngörmek mümkün olmayabilir.

17. Black–Scholes Denklemi

Ve listenin sonunda oldukça farklı bir dünya var:

Finans.

Black–Scholes modeli opsiyon gibi finansal türevlerin fiyatlandırılması için geliştirilmiştir.

Temel denklem:

∂V/∂t + ½σ²S² ∂²V/∂S² + rS ∂V/∂S − rV  =  0

Bu denklem matematik, olasılık ve finansı birleştirir.

Sonuçta matematiksel modeller finansal piyasaların ayrılmaz bir parçası haline geldi.

Fakat burada hikâyenin ironik bir tarafı da vardır.

Bu tür modeller finansal risk yönetiminde devrim yaratırken, matematiksel modellerin yanlış varsayımlarla kullanılması finansal risklerin olduğundan düşük değerlendirilmesine katkıda bulunabilir. Black–Scholes modelinin 2008 finansal krizinin arka planındaki gelişmelerle ilişkilendirilmesi de bu nedenle sıkça tartışılır.